Quando Talete non era ancora nato i Sardi già dividevano in modo equo

Talete di Mileto

di Sandro Angei

1° parte

Facciamo una premessa sotto forma di domanda.

A cosa serviva in termini pratici nel V sec. a.C. il teorema di Pitagora?

In quel periodo penso servisse a ben poco, visto che anche oggi in termini pratici serve a nulla se non a dimostrare una elegante peculiarità del triangolo rettangolo che soddisfa il solo sapere accademico.

   In somma, dava e dà ancora emozione la sua elegante enunciazione, ma tornati a casa di certo non aiuta a risolvere i problemi di tutti i giorni.

   Talete invece enunciò un teorema ben più pratico, tant'è che ancor oggi lo si può usare lì dove è necessario dividere in parti uguali ad esempio una “baguette” per non dispiacere nessun membro della famiglia.

   I due teoremi appena richiamati potremmo assimilarli a due sentimenti dell'animo umano, il primo da collocare nella sfera del mistico e del sacro (Pitagora), l'altro (Talete), nella sfera del profano, del laico, del materiale. Certo il primo affascina lo spirito, ma il secondo soddisfa il corpo. In ragione di ciò possiamo affermare che le costruzioni geometriche che andremo qui a proporre sono parenti stretti del teorema di Talete, dato che a qualcosa potevano, e ancor oggi possono servire.

   Lo studio relativo alla edificazione del pozzo sacro di Santa Cristina ha imposto di verificare il metodo presumibilmente adottato da quelle genti per la sua costruzione. Per fare ciò è stato necessario un lavoro di studio di tecniche anche geometriche che fossero alla portata delle capacità di quelle genti, che di sicuro erano dotate di grande abilità cognitiva. Lo studio mi ha indotto a cercare dei metodi geometrici che potessero, con l'uso del solo compasso e una riga, risolvere i problemi che di volta in volta si presentavano a quelle genti. E, a dire il vero, i grattacapi li ho avuti io ogni qual volta dovevo risolvere quei problemi pratici con l'ausilio, appunto, di limitate e primordiali risorse.

Tutto ha inizio con la constatazione che il pozzo di Santa Cristina fu costruito secondo un progetto preliminare, secondo tecniche geometriche e l'uso di una precisa unità di misura, dei suoi multipli e sottomultipli.

La procedura di costruzione del pozzo imponeva, ad un certo punto, la divisione di una lunghezza precostituita in 11 parti uguali. La qual cosa si potrebbe risolvere in modo empirico ma con notevole errore nel risultato¹. Per tanto ho indagato un metodo geometrico affidabile e relativamente facile da usare.

Inoltre è stato scoperto un metodo misto, astronomico e geometrico, atto a individuare in modo pressoché automatico ed estremamente preciso la direzione di alba e tramonto dei solstizi nel 1000 a.C.

Ma andiamo con ordine.

Oggi esaminiamo la divisione di un segmento in parti uguali.

   L'esigenza di trovare un metodo di divisione di un dato segmento in parti uguali è ben spiegata nello studio dedicato alla costruzione del pozzo di Santa Cristina, per tanto si rimanda a quello per un puntuale riscontro.

Il problema sarebbe di facile soluzione se facessimo uso del citato teorema di Talete. Però tale metodo comporta l'uso di una tecnica, quella della costruzione di rette parallele², che potrebbe essere troppo sofisticata quanto a metodologia (stiamo parlando del 1000 a.C.), ma in ogni caso il metodo poco si presta alla divisione di un segmento che potrebbe essere lungo alcuni metri³. Per tanto, bandito il teorema di Talete, dobbiamo trovare un metodo che faccia uso del solo compasso e di una riga, nient'altro; e che possa essere utilizzato per dividere un segmento lungo svariati metri.

Lo studio approfondito del tema mi ha dato modo di constatare alcune peculiarità del triangolo equilatero che la geometria insegnata a scuola non contempla. Con questo non voglio dire di aver scoperto qualcosa di nuovo (questo potranno dirlo gli specialisti del settore, quelli che della matematica ne hanno fatto la loro professione), ma sicuramente mostrerò un metodo inusuale, quanto semplice, dettato dall'uso di un compasso che, prova oggi, prova domani da modo di rilevare delle peculiarità geometriche legate al triangolo equilatero e che altri triangoli non hanno (sarà per questo che il triangolo equilatero fu in ogni epoca oggetto di particolare attenzione?!).

Perché, ci si domanderà, questo metodo che andremo a spiegare non ha avuto seguito (se mai fu scoperto da qualcuno nel passato)? La risposta fondamentalmente ammette due motivi. Il primo motivo è dovuto all'assunzione di teoremi che nel momento in cui furono scoperti probabilmente limitarono o addirittura inibirono la ricerca di teoremi alternativi. Il secondo motivo è dovuto alla mancata utilità e/o esigenza nell'utilizzo di un determinato teorema in una data società. In un caso e nell'altro la “formula” e/o il “metodo” esistono, nascosti, nell'universo matematico, e sono lì pronti a sbucar fuori alla prima occasione pratica.

In tremila anni, evidentemente, non si è sentita la necessità di usare le particolari proprietà insite nel triangolo equilatero perché nel passare di quei 3000 anni, non servì ad alcuna esigenza umana se non, eventualmente, stuzzicare l'intelletto di Pitagora. Dopo 3000 anni però nasce l'esigenza di utilizzare e capire quei metodi geometrici, e sfruttarne le potenzialità, se non per fini pratici, almeno per dimostrare, almeno teoricamente, il metodo di costruzione di certi antichi monumenti.

In ogni caso volendo snobbare per qualche motivo questo aspetto, rimarrebbe comunque una elegante dimostrazione di carattere accademico.

Il lettore si domanderà, ancora, perché si debba dimostrare questo metodo di divisione.

Perché siamo di fronte ad un ostacolo che neanche il teorema di Talete è capace di superare nella pratica se dovessimo usare i mezzi disponibili 3000 anni fa e senza, ovviamente, far ricorso a tutto il bagaglio culturale e scientifico in nostro possesso. Per tanto nessun foglio di carta, nessun tavolo per disegnare, nessuna riga o squadra graduata, nessuna penna o matita, né gomma da cancellare, e tanto meno l'uso della divisione quale metodo matematico, né l'uso del rapporto di scala tra disegno e realtà. Per tanto nessuna elucubrazione che possa farci pensare che una certa unità di misura del disegno sia da moltiplicare per 100, come avviene oggi quando si redige un progetto architettonico. Con tutte queste limitazioni, ben si capisce che è difficile usare il teorema di Talete in scala 1:1, non foss'altro perché servirebbe una riga e una squadra di notevoli dimensioni (?) per dividere in parti uguali, ad esempio, un tratto lungo 5 metri.

In ragione di ciò è necessario trovare un metodo alternativo che faccia uso del “compasso”. Strumento che quelle genti usarono nelle loro costruzioni; e di ciò abbiamo le prove⁴. Un congegno, il compasso, composto essenzialmente da un'asta rigida e due pioli di legno o metallo alle estremità, nulla di più.

Il secondo congegno, di utilizzo intuitivo, è il tiralinee (ossia un tratto di corda teso tra due punti che si vogliono unire con una linea retta)⁵. Con questi due “congegni”, si può disegnare in sequenza:

• un cerchio e il suo raggio

• il “fiore della vita” ottenuto disegnando sei cerchi periferici di uguale diametro a quello centrale

• il “fiore della vita” da origine ad una stella a sei punte; quella che a noi serve per dimostrare il nostro metodo di divisione.

• l'unione delle sei punte della stella da origine a sei triangoli equilateri chiusi a cerchio, il perimetro esterno dei quali, è di fatto un esagono regolare. La costruzione dei triangoli equilateri non è ridondante né di effimera estetica, ma da modo di capire che la divisione operata mediante la “stella a sei punte” deriva dalle proprietà del triangolo equilatero e solo da quello. Tant'è che in seguito svilupperemo un secondo metodo, alternativo, usando appunto il triangolo equilatero.

Primo metodo

Prendendo in considerazione “la stella a sei punte” possiamo notare che:

• Tracciando il segmento BF, questo interseca il raggio OA in G. Il segmento OG è 1/2 del raggio (OA).

• Tracciando il segmento GC, questo interseca il raggio OB in H. Il segmento OH è 1/3 del raggio (OB)

• Tracciando il segmento HD, questo interseca il raggio OC in I. Il segmento OI è 1/4 del raggio (OC)

• Tracciando il segmento IE, questo interseca il raggio OD in L. Il segmento OL è 1/5 del raggio (OD)

• Tracciando il segmento LF, questo interseca il raggio OE in M. Il segmento OM è 1/6 del raggio (OE)

• Tracciando il segmento MA, questo interseca il raggio OF in N. Il segmento ON è 1/7 del raggio (OF)

Si può continuare all'infinito dividendo il raggio in parti uguali sempre più piccole e in numero sempre più grande.

Secondo metodo

Il secondo metodo, più facile da attuare, parte dalla costruzione di due triangoli equilateri ABC e CDE, il secondo dei quali è costruito sul prolungamento della base del primo e con quello ha in comune il vertice “C”.

La costruzione è minimale, ha necessità di un iniziale tratto di lunghezza arbitraria e a partire da questo si disegnano quattro cerchi, la mutua intersezione dei quali individua i due triangoli equilateri.

Ora, liberando dai cerchi i due triangoli, possiamo iniziare la divisione, che verrà operata sui lati obliqui adiacenti: BC e CD dei due triangoli.

• Tracciando il segmento AD, questo interseca il lato BC in F. Il segmento FC è 1/2 del lato BC.

• Tracciando il segmento FE, questo interseca il lato CD in G. Il segmento CG è 1/3 del lato CD.

• Tracciando il segmento GA, questo interseca il lato BC in H. Il segmento HC è 1/4 del lato BC.

• Tracciando il segmento HE, questo interseca il lato CD in I. Il segmento IC è 1/5 del lato CD

Così continuando si può dividere il lato BC in illimitate parti uguali pari e il lato CD in illimitate parti uguali dispari.

Alla fine di questa dimostrazione non possiamo asserire con certezza che quelle genti usarono questo metodo; ma la domanda conseguente – quale altro metodo sarebbe possibile usare? – richiede una precisa risposta.

segue

Note e riferimenti bibliograafici

1 La divisione in modo empirico prevede l'avvolgimento a bobina attorno a due pioli di un tratto di corda da fissare con un capo ad un piolo, avvolgendo il filo in andata e ritorno tante volte quante sono le parti in cui dividere detto tratto di corda. Fissando in fine il secondo capo all'uno o l'altro piolo a seconda che le parti siano pari o dispari. Il metodo di semplice uso di fatto è estremamente impreciso dato che qualsiasi corda in tensione è soggetta ad allungamento. Attualmente i tecnici che fanno uso del doppio decametro avvolgibile (chiamato in gergo rotella metrica) sanno bene di questo inconveniente per tanto per misure di una certa precisione si utilizzano rotelle metriche in acciaio praticamente inestensibile (invar), ma anche questo non servirebbe per risolvere il problema col metodo empirico sopra esposto, data l'impossibilità di piegare il nastro di invar con raggio di pochi millimetri. In ogni caso sarebbe anacronistico.

2 Sembra un metodo primitivo, però possiamo osservare che l'utilizzo delle rette parallele comporta l'uso di una riga, di una squadra e di una superficie sufficientemente piana dove far scorrere la squadra rispetto alla riga.

3 Un conto è dividere un segmento tracciato su un foglio di carta, ben altro è dividere un tratto lungo svariati metri. Perché in tutto questo vi è da dire che per operare la trasposizione di un disegno nella realtà è necessario avere la cognizione di scala di rappresentazione dell'oggetto disegnato; la qual cosa è difficile da dimostrare che fosse nelle facoltà di quelle genti.

4 Nel sito nuragico di Giorrè di Florinas vi è la prova documentata dell'uso di tale congegno. Si veda S. Angei 2017 Maymoni blog http://maimoniblog.blogspot.com/2017/11/giorre-tra-geometria-e-astronomia.html

5 Col tiralinee, ancora oggi in uso in genere per marcare dei piani su parete, si tracciano delle linee perfettamente rettilinee con semplici gesti.