Alla ricerca del nord geografico

Il sole, un teodolite distanziometrico, un cellulare, la necessaria scrupolosità,

e il Nord geografico è mio!

di Sandro Angei

Sommario
   Scopo di questo studio è quello di verificare se esista un metodo relativamente facile, affidabile e abbastanza preciso di misurazione, per l'individuazione dell'orientamento di un manufatto rispetto al nord geografico. Un metodo che faccia a meno della bussola (poco precisa), di rilievi topografici in appoggio a punti trigonometrici IGM (ossia una rete nazionale di appoggio),  e che faccia a meno degli strumenti topografici di ultima generazione denominati GPS, legati ad apparati globali (costellazione di satelliti artificiali). Un metodo che sia alla portata di tutti, o quasi. Il metodo esiste e fà uso, in combinazione con altri, di uno strumento (il telefono cellulare) che da qualche anno ormai, essendo collegato ad internet, fornisce l'ora esatta... molto esatta.



Avvertenza
   Come appena  scritto nel sommario, questo articolo tratta della misura di azimut riferiti al nord geografico. Non volendo ogni volta dover specificare che di questi azimut, e solo di questi, stiamo trattando, quando in taluni contesti scriverò ad esempio: "individuazione del nord geografico" (con "nord geografico" in corsivo) intenderò sempre "azimut riferiti al nord geografico"; perché di fatto in questi studi non ha alcuna utilità individuare materialmente la direzione del nord geografico. 

Introduzione
   Il presente studio è finalizzato alla individuazione dell'orientamento di un edificio rispetto al nord geografico, allo scopo di entrare, tramite l'elaborazione di un modello tridimensionale dell'edificio, nell'intima natura della ierofania luminosa che in esso si manifesta.
   Per fare ciò è necessario individuare con esattezza la direzione del nord geografico.
   Più in generale il metodo potrà servire ogni qualvolta sia necessario orientare un edificio o un monumento, qualsiasi motivo lo imponga.

   L'individuazione della direzione del nord geografico gran pena ha fatto patire, fin dalla notte dei tempi, a naviganti ed esploratori di tutto il mondo. La bussola fu di certo una conquista importantissima, capace di definire con una certa approssimazione la direzione del nord geografico attraverso quella del nord magnetico; purtroppo però, quest'ultimo, non coincide esattamente col primo, se non in due meridiani contrapposti, lungo i quali il polo nord magnetico giace in un dato periodo temporale¹. Per tanto per ottenere la direzione del nord geografico è necessario apportare una correzione a quello magnetico, definita "declinazione magnetica". La bussola però può essere influenzata da anomalie magnetiche locali, che possono deviare anche di decine di gradi la direzione segnata dall'ago (e qualcosa ne sanno certi archeoastronomi). In ogni caso la precisione di questo congegno non supera quella di un grado.

Un altro modo per definire il nord geografico è quello di riferirsi, di notte, alla posizione della stella polare ma , ahimé, anche questa non è precisissima, avendo una declinazione in data corrente di 89.3481° ossia 0°39'07" dal nord geografico. Di giorno un metodo è quello di utilizzare le ombre del sole in due momenti equidistanti a cavallo del passaggio in meridiano della nostra stella; e questo senza dover far uso di particolari e sofisticati congegni, basta un'asta posta perfettamente verticale col filo a piombo, un rudimentale compasso e tanta pazienza. Di certo il metodo non può essere utilizzato per definire l'orientamento rispetto al nord geografico di una linea esterna al congegno, ma serve solo per indicare la direzione del nord geografico. Direzione, però, che con gli opportuni accorgimenti può essere di ottima precisione, e questo trasparirà dalla trattazione che qui faremo su un metodo ibrido, che può essere utilizzato per misurare angolarmente in modo molto preciso la direzione di una linea d'ombra qualsiasi, della quale si vuol conoscere l'azimut rispetto al nord geografico. Metodo che fa uso dell'ombra proiettata dal sole in un preciso momento e della registrazione dell'ora esatta in quel dato momento.

**

   Quando mi affacciai al mondo dell'archeoastronomia, mi resi conto che proprio per questi temi è necessaria la precisa individuazione del nord geografico, pena l'inconsistenza di certe ipotesi di lavoro.

   Da topografo ho sempre dato il giusto peso all'aspetto topografico del tema archeoastronomico, e malgrado le difficoltà, gran perizia ho sempre usato nella individuazione del nord geografico a costo, a volte, di grande impegno. Per tanto la scoperta di un modo “semplice” di rilevare azimut riferiti al nord geografico, gran sollievo darebbe a me, ma più in generale a tutti gli archeoastronomi; per lo meno quelli che possono dotarsi di un teodolite distanziometrico. Per tanto, via bussole e stella polare o quant'altro; via anche Google Earth, almeno per questo specifico scopo. Il programma di Google sarà però, come vederemo, validissimo ausilio per la definizione del nord geografico qui trattato, nonché per una verifica, che non guasta mai. In ogni caso Google Earth continueremo ad usarlo anche per altri scopi, vista la sua affidabilità; ma non mi dilungherò di certo in questo tema che esula dai fini di questo studio.

**

E' da un po' di tempo che uso questo metodo, ma non mi decidevo a condividerlo con altri, non per gelosia, per carità! Non sarei qui a spiegarne i dettagli; ma semplice inerzia dettata dalla difficoltà di esporre nei minimi particolari tutta la procedura. Procedura che per certi aspetti fa parte della mia esperienza di topografo, ma certi passaggi investono tematiche aliene a questo campo; in particolar modo quella relativa alle ombre. La stessa tematica, quella delle ombre, che ha indotto altri ricercatori (che citerò più in là) a sottovalutare la precisa individuazione dell'ombra, dal momento che entrare nel merito del problema comporta quella sperimentazione che và al di là dell'aspetto professionale del topografo. Per tanto non avendo, loro, la necessaria spinta emotiva e, probabilmente, alcun obiettivo pratico da perseguire, hanno rinunciato a scavare in fondo al problema, si sono fermati a metà strada, pur avendo gli strumenti adatti al tema qui trattato. Io l'obiettivo c'è l'ho, la spinta emotiva pure. Le riflessioni sul tema però comportano dispendio di energie e tempo. Quel "rimuginare" sul problema che ha il sapore del "rimandare". E, rimanda oggi, rimanda domani sono passati quasi due anni.

Ma veniamo al tema trattato.

**

Tutta la prassi operativa che seguirà è finalizzata alla individuazione dell'orientamento di un manufatto del quale ci interessa conoscere la sua precisa direzione rispetto al nord geografico. Un metodo, che in special modo in campo archeoastronomico (che è il contesto che più ci interessa), risulta di grande utilità e interesse perché di grande precisione; non è assoggettato a bussole magnetiche più o meno tarate (comunque non soddisfacenti quanto a precisione angolare); non è assoggettato a rilievi topografici complessi e lunghi se si fa uso del teodolite; non è assoggettato, altresì, all'uso del GPS, né al rilevamento estremamente comodo ma relativamente impreciso delle immagini satellitari di Google Earth.

Ad ognuno il suo

   Nel 2010 fu pubblicato su internet un articolo: “Tracciare il Nord geografico con metodi empirici antichi e moderni - (Tracing the geographical North with empirical methods, ancients and modern)”² a firma dell'Ing. Giorgio Demontis e dei Geom. Filippo Contini e Roberto Defendente.

   Un articolo che affronta l'argomento ben prima di quanto abbia fatto io (2010).

   L'articolo, come si evince già dal titolo tratta le problematiche relative al tracciamento del nord geografico con mezzi empirici.

   In sostanza lo scopo di quello studio è quello di verificare quale attendibilità possa avere un metodo antico o moderno, ma empirico, nella definizione del nord geografico. Tant'è che gli autori in uno dei metodi utilizzano la direzione della parete di un edificio per calcolare tramite Google Earth la direzione del nord geografico; ossia esattamente il contrario di ciò che qui sto perseguendo: individuare cioè, la direzione azimutale di un particolare architettonico tramite individuazione del nord geografico; che tra l'altro nel metodo qui applicato non verrà mai tracciato materialmente.
 In particolare in quell'articolo si descrive, tra gli altri, un'altro metodo basato sull'utilizzo di un software (progecad) col quale calcolare l'ora esatta in cui il sole passa in meridiano in un luogo di coordinate geografiche note, per poi andare sul luogo scelto, posizionare col GPS la direzione calcolata e solo dopo verificare la bontà dei calcoli del CAD con l'ombra proiettata dal sole nell'ora indicata dal CAD stesso. Ora esatta alla mano naturalmente. Un metodo, questo, che serve quasi a nulla, se non renderci edotti sulla direzione precisa del nord geografico e qualche altra applicazione.
   Il metodo da me descritto sfrutta la potenzialità del software e dell'ora esatta partendo, però, dalla misurazione in loco, perché è il sole che deve indicarmi la direzione del nord geografico, non il software. Il software mi servirà solo in seguito per calcolare l'azimut di orientamento di quell'ombra mediante l'ora esatta che ho annotato nel preciso momento in cui ho registrato la posizione dell'ombra sul terreno.

  In fin dei conti una procedura, la mia, che all'antico metodo delle ombre, applica la tecnologia avanzatissima che permette misurazioni del tempo molto precise.

  Quel tempo precisissimo che ormai in tutti i cellulari collegati al web scandisce l'ora esatta, secondo dopo secondo. Tutti possiamo accedere all'ora esatta al minuto secondo; quel minuto secondo che nel tempo di un calmo respiro è già passato, ma a far mente locale su di esso, magari trattenendo il respiro, è lungo, molto lungo. Questione di punti di vista. Quel minuto secondo - a dar ragione ai punti di vista - è al contempo sfuggente nella frenesia di gesti veloci, ma estremamente importante nella calma del calcolo preciso del lento procedere del sole in cielo.

Ma lasciamo questi pensieri che sanno di spicciola filosofia per procedere alla spiegazione di quanto appena accennato.

Il metodo

In sostanza si individua sul terreno la direzione dell'ombra di uno "gnomone" e nel medesimo istante si tiene nota dell'ora esatta (al minuto secondo) di tale registrazione.

Il metodo da me descritto, ricalca per grandi linee quello proposto nell'articolo di Demontis, Contini e Defendente, ma se ne discosta per quanto riguarda il fine ultimo, la procedura, l'accuratezza di rilevamento dei particolari atti a ridurre al minimo gli errori di rilevamento; e per un software di astronomia (Stellarium) usato assieme ad un CAD per il calcolo a tavolino della direzione orientata rispetto al  nord geografico. Vediamolo.

La procedura e la cura dei dettagli³ sono, in campo archeoastronomico, di fondamentale importanza. E lo sono tanto da dover focalizzare l'attenzione sui vari aspetti del rilievo topografico, che nella prassi professionale in genere vengono quasi sempre elusi. Mi riferisco in particolar modo all'approssimazione nella misura delle distanze; approssimazione che nelle moderne stazioni totali fornite di misuratore laser integrato è dell'ordine di 1 mm; ma nella realtà dei fatti rilascia misure con una indeterminazione di ±2 mm;   e se in campo topografico e catastale sono tollerabili indeterminazioni anche di più ampia entità, e per tanto lì accettate, per certi rilievi in campo archeoastronomico non lo sono in modo categorico, pena la insoddisfacente precisione che potrebbe portare ad un nulla-di-fatto nella ricerca intrapresa.

 In ragione di ciò è necessario porre la massima attenzione nella registrazione della sequenza ripetuta di misure per verificare il gap tra la misura più piccola e quella più grande che, come già detto, varia generalmente in un campo di ±2 mm rispetto alla misura reale. Per tanto una differenza che può arrivare ad un massimo di 4 mm tra una lettura e l'altra. Quantità che sembrerebbe piccola, o addirittura ridicola, se non fosse per le entità in gioco. Facciamo subito un esempio (Fig. 1):

Fig.1

 Se la differenza riguarda due punti A e B distanti tra loro 50 m, rilevati da una stazione "O" posta a lato del tratto rilevato (anche a notevole distanza), indubbiamente 2 millimetri in più o in meno su entrambe le distanze OA e OB si ridurrebbe ad una indeterminazione dell'angolo α di orientamento del segmento di una quantità irrilevante (0°0'17”)⁴; se però il segmento AB da rilevare è di soli 1,5 m, come nel caso della lunghezza media utilizzabile dell'ombra proiettata da un'asta verticale, di certo quei 2 mm di indeterminazione sulle due misure estreme OA e OB determina un angolo α di incertezza dell'orientamento pari a 0°09'10” ⁵ (32 volte più ampio). Alla luce di questo problema è necessario adottare particolari accorgimenti che possano ridurre al minimo l'errore di indeterminazione angolare. Nella fattispecie si deve, per quanto possibile, posizionare lo strumento topografico in linea con l'oggetto dei nostri studi (tratto 1-2 di Fig.2) ossia quei particolari architettonici che definiscono la ierofania luminosa. Di conseguenza si deve posizionare l'asta che proietta l'ombra A-B sulla linea tra lo strumento di misura "O" e il sole; in modo tale che l'ombra sia su questa stessa linea. Asta che, montata su treppiede, dovrà essere posizionata perfettamente verticale con molta, molta cura⁶.

Fig. 2

Ci si accorge subito, però, di una difficoltà di carattere operativo dovuta all'interferenza della penombra sull'ombra proiettata dall'asta verticale⁷; questa fa si che l'ombra vera si riduca di spessore man mano che si allontana dal piano di proiezione, per tanto è necessario stabilire un metodo operativo capace di ovviare all'inconveniente, che di fatto pregiudicherebbe la precisione di tutta l'operazione. Vi è inoltre un secondo elemento di disturbo, dovuto normalmente alla imperfetta orizzontalità e scabrosità del piano di riferimento dove l'ombra andrà a proiettarsi nel momento della registrazione. Come ovviare a tutto ciò? Vediamo di descrivere passo passo le operazioni:

• Il primo problema è individuare quali parti dell'asta siano più confacenti alla individuazione precisa dell'ombra. Con l'asta posizionata in verticale ho notato che il puntale di appoggio, del diametro di 10 mm, proietta un'ombra nitidissima e abbastanza sottile da poter individuare la sua mezzeria, eventualmente anche a vista. Per contro la parte sommitale genera un'ombra dai contorni che sfumano nella penombra; però ho notato che la prolunga telescopica dell'asta, di diametro ridotto (16 mm), proietta un'ombra abbastanza sottile e nitida da poter essere stimata pure a vista, benché turbata dalla penombra. Si tenga conto che da prove eseguite ho accertato che tracciando due segni paralleli su un foglio di carta, il punto medio stabilito a vista si discosta da quello reale di una quantità crescente al crescere della distanza tra i due segni estremi. In sostanza fino a distanze di 14 mm il segno tracciato a “occhio” coincide esattamente con la mezzeria: (infatti ad una distanza dei segni 12 mm la mezzeria stimata è 6 mm; alla distanza 14 m la mezzeria stimata è 7 mm; però alla distanza di 19 mm la mezzeria stimata è 10 mm da sinistra o destra; alla distanza di 32 mm, la mezzeria stimata è 17 mm). Ciò significa che l'occhio umano riesce a discriminare a vista la mezzeria di tratti relativamente brevi. Per tanto il nostro è il caso ideale per stimare, (eventualmente) a vista la mezzeria dell'ombra di un'asta del diametro di 16 mm che proietta a terra un'ombra della larghezza di circa 1 cm.
• Dopo il premuroso posizionamento in perfetta verticalità dell'asta, si adagia a terra, nelle sua prossimità, una tavola abbastanza larga e lunga da accogliere l'ombra proiettata dall'asta stessa; ovviamente la tavola si posizionerà nella direzione dove si ritiene di dover effettuare la registrazione dell'ombra.
• Si metterà a livello la tavola con una semplice livella torica da muratore, operando prima lungo l'asse maggiore di detta tavola, in seguito lungo la perpendicolare.
• Verificata la perfetta orizzontalità del piano dove già l'ombra viene proiettata, si potrà dare inizio all'apposizione dei segni marcatori.
• E' giunto il momento di prendere in mano il cellulare che visualizza l'ora esatta nell'incessante scorrere del tempo, e nel momento in cui si tiene a mente lo scadere di un minuto secondo, con una penna si segna velocemente per prima la mezzeria dell'ombra della parte alta dell'asta, solo dopo si segnerà quella al piede dell'asta. L'operazione dovrebbe richiedere un tempo non superiore ai 2 secondi tra il primo e il secondo tratto. Tempo di cui terremo conto nel calcolo della direzione reale relativa all'orario rilevato; non tanto per effettuare una correzione, ma per dimostrare che il ritardo rientra all'interno di errori più macroscopici.
• Terminata questa delicata operazione di base, per la quale velocità e precisione sono significativi ai fini dell'affidabilità e precisione del metodo, si potrà rimuovere l'asta col treppiede e iniziare le operazioni di misurazione col teodolite distanziometrico.
• Si procede alla misurazione per coordinate polari⁸, secondo la normale prassi di rilevamento strumentale da stazione totale, dei due segnali che materializzano l'asse dell'ombra registrata; avendo cura di posizionare con esattezza il catarifrangente in modo da individuare in modo preciso il punto di registrazione ai fini del rilievo angolare. Come vedremo più avanti, per quanto riguarda la misura lineare,  se si adotta la corretta metodologia, questa influisce molto marginalmente sull'errore di orientamento, benché l'errore di misurazione insito nel distanziometro laser sia, come già accennato, pari a ± 2 mm. In seguito si misureranno tutti i punti caratteristici del monumento che concorrono alla formazione della ierofania luminosa.

Qui finisce la prima parte del lavoro; il resto sarà eseguito a casa, al computer con l'ausilio di due software: un CAD e Stellarium. Il primo per la restituzione in 2D del rilievo eseguito, il secondo per calcolare in modo preciso e veloce l'azimut dell'ombra sulla base dell'ora di registrazione dei segni, previa impostazione delle coordinate geografiche della stazione di rilevamento.

**

   A tal proposito vi è da precisare che le coordinate geografiche potranno essere approssimative, per tanto saranno rilevate da Google Earth.

Per dare una idea dell'errore commesso impostando le coordinate geografiche con 3 metri di traslazione rispetto a quelle reali, basti dire che l'errore azimutale rilevato con Stellarium è di 3/10 di secondo d'arco, ossia 0,00008° sessadecimali, che equivale ad uno scostamento di 1,45 mm a una distanza di 1000 m; per tanto un errore insignificante. Tanto più insignificante dal momento che l'errore di posizionamento, se si individua con pazienza il punto di stazione su Google Earth, può essere quantificato in pochi decimetri, tenuto conto che la risoluzione attuale del programma di Google riesce a discriminare i 12 cm della larghezza della linea di mezzeria della carreggiata stradale. Per tanto possiamo affermare che l'errore dovuto al posizionamento della stazione è praticamente nullo.

Il calcolo dell'errore

Nel loro studio, Demontis, Contini e Defendente, stimano un errore massimo teorico nella definizione del nord geografico pari a 0,36° sessadecimali (0°21'36” sessagesimali), la maggior parte del quale sarebbe costituito dalla difficoltà di individuazione dell'ombra rilevata (0,29°). Salvo, poi, misurare un errore d'angolo tra due metodi diversi pari a 0°04'09". Ma il loro obiettivo, come detto, era quello di verificare quale precisione si potesse raggiungere nella definizione del nord geografico. Obiettivo fine a se stesso, non certo per calcolare la direzione di un particolare architettonico rispetto al nord geografico.

***

   Ma veniamo al calcolo dell'errore.
   Dal punto di vista meramente pratico, il dubbio maggiore sarebbe costituito dall'errore di posizione dei segni rispetto ai bordi dell'ombra; ma come abbiamo appena dimostrato per via empirica, il dubbio non sussiste, se non in maniera estremamente marginale. Parimenti non sussiste l'incertezza dovuta allo spessore del segno tracciato, che in condizioni normali al più può essere sottile 2/10 di millimetro⁹ e per tanto indurrebbe l'incertezza ad un massimo di 1/10 di millimetro; inoltre, come già scritto, vi è il ritardo di tempo che intercorre tra la individuazione della seconda tacca rispetto alla prima (2 secondi), che accusa un “ritardo” angolare di 0,0058°, che sembrerebbero tanti, ma se pensiamo che il segno marcato in ritardo è posto a 1 cm dal centro del piede dell'asta, ci si rende conto che di fatto la rotazione di 0,0058° per un raggio di 15 mm equivale ad una rotazione sulla circonferenza di appena 0,0015 mm (15/10.000 di millimetro): praticamente zero. Per questo motivo ho voluto precisare in precedenza che questo segno dovrà essere posizionato solo in seconda battuta.

Per tanto tra queste due, l'indeterminazione maggiore è quella dello spessore del segno apposto sulla mezzeria dell'ombra, che abbiamo detto essere pari a 1/10 di millimetro.

In ragione di ciò, almeno in linea teorica, nel nostro rilievo “perfetto” dovremmo avere un errore stimabile in 1/10 di millimetro per ogni tacca e per tanto, nel caso più sfavorevole un errore di 2/10 di millimetro sulla mezzeria dell'ombra individuata. Probabilmente questo errore è in effetti di tale entità, a meno di errata valutazione a vista della mezzeria dell'ombra, però come vedremo fra poco con esempi pratici, l'errore maggiore non è relativo alla individuazione di tale mezzeria, ma nella distanza calcolata dal distanziometro della stazione totale, nella misura in cui ci si allontana dalla direzione ottimale: strumento–sole, strumento–oggetto del rilievo, come abbiamo già accennato in precedenza (vedi Fig.2).¹⁰

   Come già detto il distanziometro laser integrato nel teodolite ha una precisione (data dal costruttore) di 1 mm, ma in sostanza la misura ripetuta restituisce misure lineari entro un intervallo di indeterminazione pari a ±2 millimetri. Ed è proprio questa incertezza che determina l'errore angolare che a noi più interessa; ed è quello che pesa nel calcolo della direzione orientata. E l'errore è tanto maggiore quanto più la stazione di misura tende alla perpendicolare rispetto al tratto rilevato, tanto da poter dire che per misurazioni veramente precise sia necessario allineare gli oggetti misurati con la direzione strumentale. In sostanza dobbiamo fare in modo, per quanto possibile, di porci nella situazione descritta in Fig. 2, che possiamo definire “ottimale”, in quanto l'altissima precisione angolare dello strumento (2 secondi d'arco centesimali¹¹) supplisce alla meno precisa misurazione lineare, restituendo un errore sull'orientamento reale, che nel rilievo degli oggetti allineati è teoricamente di soli ±0,010° (0°0'03.6”) su un tratto di 1,83 m (ombra A1-A2) e di ±0,0004° (0°0'01,4”) su un tratto di 4,63 m (parete 3-4 da orientare), dovuta alla indeterminazione di 0.00018° (che equivalgono 2 secondi d'arco centesimali) della lettura al goniometro. Per un errore totale nell'angolo compreso tra A1-A2 e la parete 3-4 pari a ±0.0014° (0°00'05").

Se invece le misure sono rilevate da posizione non ottimale di una delle due tratte misurate, o peggio ancora per tutt'e due, prevarrà l'indeterminazione della misura lineare che causerà un errore che arriva, nel caso da noi rilevato con improvvida scelta della direzione dell'ombra a ±0,3142° (0°18'51”) al quale si somma quello della parete pari a ±0,0288° (0°01'44”), per un errore che può andare da un minimo di 0,2854° (0°17'07”) ad un massimo di 0,3430° (0°20'35”). Ecco perché è di fondamentale importanza la scelta della opportuna posizione dello strumento rispetto al particolare architettonico che genera la ierofania; e medesima importanza ha la posizione dell'asta e dell'ombra da essa proiettata, che devono essere allineate quanto più possibile con la stazione totale e il sole. Per i nostri studi, in questa scala di valori lineari dell'ordine di pochi millimetri, poco importa la posizione spaziale più o meno traslata rispetto alla reale ubicazione dell'oggetto rilevato, ma è di fondamentale importanza ila precisa misurazione dell'angolo di orientamento.

Per quanto riguarda l'algoritmo utilizzato dal programma Stellarium, abbiamo avuto modo di constatare che per la stessa data e ora di riferimento gli algoritmi del calcolo del ΔT, deviano dall'azimut del passaggio in meridiano (180°) in un ventaglio angolare che va da 180°05'28” a 179°59'34”, ossia 0°5'54” di differenza tra il più elevato e il meno elevato su una scelta di 29 algoritmi, la maggior parte dei quali si attesta mediamente su 180° ±0°0'5”. Per tanto optiamo per l'algoritmo di Espenak & Meeus, formula predefinita del programma Stellarium¹²; tenuto conto oltretutto, che potremmo pure fare a meno del calcolo del ΔT, perché stiamo operando all'attualità, e un ritardo di 0°0'5” d'arco si traduce in una frazione temporale dell'ordine di circa 2/10 di secondo.

 L'indeterminazione del programma la rileviamo piuttosto nell'approssimazione a video del tempo, che è pari al minuto secondo; in ragione di ciò l'indeterminazione angolare è pari 0.0047° (0°0'17"), che rapportato al caso reale dell'ombra A1A2 (che vedremo in seguito nel capitolo intitolato "prove e collaudi")  come evidenziato in Fig. 3, la distanza di 2.14 m si traduce in una indeterminazione lineare di 0.00017 m, ossia 0.17 mm, che di fatto possiamo assimilare allo spessore di linea di un rapidografo.

Fig. 3

Per tanto, da questo punto di vista non si rileva alcuna sostanziale  indeterminazione da imputare all'algoritmo di calcolo di Stellarium e in ragione di ciò possiamo affermare con ragionevole sicurezza che l'errore è relativo alla sola indeterminazione dovuta alla misura del distanziometro.

In sostanza stiamo affermando, sulla base della precisione della strumentazione utilizzata e del procedimento applicato (ossia a prescindere da tutti gli errori sistematici e/o casuali), che il metodo adottato sarebbe estremamente preciso, con un errore che si attesterebbe in linea teorica nel caso specifico delle misurazioni effettuate, attorno a 0°0'05” sessagesimali. Nel prosieguo dello studio vedremo però che l'errore è ben più elevato: dell'ordine dei minuti primi, e questo per una serie di concause che hanno il loro fondamento nella teoria degli errori.

Prove e collaudi

Verifica n°1

A questo punto abbiamo effettuato una serie di prove, utilizzando i dati di quattro rilievi su altrettante ombre distribuite nell'arco di alcuni giorni, che hanno restituito i seguenti dati:

Per ragioni legate alla privacy, saranno indicate in modo approssimativo le coordinate geografiche dei punti di stazione.

prima giornata 14/09/2019 ore 16:48:30

stazione 100

coordinate geografiche 39°55' 3*,**” E 8°41' 2*,**” N

Gli angoli letti allo strumento sono in gradi centesimali identificati dalla g in apice.

                                     Az.      Dist.

punto ombra A1      0,0000g    5,179

punto ombra A2  379,1096g    4,161

punto parete 1     341,8012g    8,205

punto parete 2     379,0366g    7,816

Si misura un azimut della parete 1-2 pari a 77,7141°

Fig. 4

seconda giornata 15/09/2019 ore 15:27:29

stazione 200

coordinate geografiche 39°55' 3*,**” E 8°41' 2*,**” N

punto ombra B1   20,9590g     6,827

punto ombra B2   29,0862g     7,410

punto parete 1        0,0000g     8,211

punto parete 2      37,1918g    7,829

Si misura un azimut della parete 1-2 pari a 77,5187°.

Fig. 5

terza giornata 16/09/2019 ore 12:43:33

stazione 300

coordinate geografiche 39°55' 3*,**” E 8°41' 2*,**” N

punto ombra A2    374,0316g     5,839

punto ombra A1    376,3800g     4,029

punto ombra B1    399,7542g     7,272

punto ombra B2        7,4536g     6,592

punto ombra C1    391,4416g     4,329

punto ombra C2        5,5096 g    4,645

punto parete 1            0,0000g   10,101

punto parete 2          14,6534g     5,793

Si misura un azimut della parete 1-2 pari a 77,5547°.

Fig. 6

ancora terza giornata 16/09/2019 ore 15:20:55

stazione 400

coordinate geografiche 39°55' 3*,**” E 8°41' 2*,**” N

punto ombra D1        38,0124g    3,290

punto ombra D2        67,3646g    3,535

punto parete 1             0,0000g   10,368

punto parete 2           14,9438 g    6,110

Si misura un azimut della parete 1-2 pari a 77,5209°.

Fig. 7

Confrontando i dati notiamo un picco di 77,7141° sulla A1-A2, mentre gli altri azimut si assestano su valori di 77,5187°, 77,5547°, 77,5209. Il valore medio tra queste tre misure è di 77,5314°; con scarti tra la media e quelle estreme di 0,0233° (0°01'24”) e 0,0127° (0°0'46”) e una differenza tra la minima e la massima di appena 0.0360° (0°02'10"). Mentre, tenendo conto della quarta misura otteniamo una media di 77,5771°; con scarti tra questa e quelle estreme di 0,0587° (0°03'31”) e 0,1370° (0°08'13”) e una differenza tra la minima e la massima di 0.1954° (0°11'43").

Sulla base di questi azimut rilevati ho confrontato i dati estrapolati dal rilievo per l'accatastamento dell'immobile, di cui fa parte la parete rilevata; dai quali  risulta che quella parete è orientata con un angolo di 77,7565° (77°45'23”).

In Google Earth, invece, stimo (in modo approssimativo) un azimut di 77,68° (77°40'48”).

Si tenga conto che il rilievo allegato all'accatastamento dell'immobile è appoggiato a una terna di Punti Fiduciali soggetti a variazione delle coordiante catastali per effetto della rototraslazione effettuata dal programma PREGEO¹³, per tanto, benché l'orientamento non possa scostarsi in modo significativo dal nord geografico, di certo può variare nell'ordine delle decine di primi d'arco a seconda della terna di Punti Fiduciali utilizzati nel rilievo. Altresì quel rilievo essendo finalizzato all'accatastamento dell'immobile di certo non fu eseguito con altissima precisione visto che per il risultato finale basta l'approssimazione lineare al centimetro ed è tollerato in quell'ambito un errore di 4 cm tra due letture in "andata e ritorno", tra due stazioni tra loro collegate.

Verifica n°2

Una ulteriore verifica possiamo attuare confrontando  la medesima direzione A1-A2 rilevata il giorno 14 (rilevamento principale) e il giorno 16 (rilevata per verifica sull'orientamento della C1-C2), rilevando una differenza di orientamento pari a 0,0331° (0°01'59”); mentre il medesimo confronto nella direzione della B1-B2 tra il giorno 15 e il giorno 16 mette in risalto una differenza di orientamento pari a 0,1849° (0°11'06”). Tenuto conto della posizione non ottimale delle direzioni rispetto alle stazioni di rilevamento, possiamo accettare di buon grado gli errori riscontrati, tenendo conto anche il dato che 2 mm in più e 2 mm in meno in due misure distinte che descrivono la direzione di un segmento, possono annullare o raddoppiare l'errore, e ciò giustifica (per certi versi) il grande divario tra l'errore di 0,0331° (0°01'59”) della prima verifica e 0,1849° (0°11'06”) della seconda.

Verifica n°3

La quarta giornata è stata dedicata ad una ulteriore verifica da due diverse stazioni in allineamento alla parete (denominata più avanti 3-4) ortogonale a quella già rilevata 1-2. In sostanza ho eseguito un rilievo utilizzando la direzione A1-A2 dell'ombra del giorno 14/09/2019 e la direzione D1-D2 del giorno 16/09/2019, allo scopo di quantificare l'errore di misurazione e/o di posizionamento della direzione dell'ombra.

Stazione 500 

coordinate geografiche 39°55' 3*,**” E 8°41' 2*,**” N

punto ombra D1   62,7700g   9,411

punto ombra D2   62,7822g10,986

punto ombra A2   67,2784g   4,465

punto ombra A1   73,0116g   6,226

punto parete 3        0,0000g  14,911

punto parete 4        0,0002g    5,757

Stazione 600

coordinate geografiche 39°55' 3*,**” E 8°41' 2*,**” N

(la stazione 600 è spostata dalla 500 di 1.35 m verso la direttrice 3-4, per tanto nessuna correzione è necessario apportare alle coordinate.

punto ombra D1  71,1084g   8,736

punto ombra D2  69,8430g 10,298

punto ombra A2  86,6624g   3,979

punto ombra A1  86,8006g   5,803

punto parete 3       0,0000g 13,547

punto parete 4       0,0694g  4,391

Come si può evincere dalle misure angolari relative alle stazioni 500 e 600, mi sono premurato di rilevare in linea con lo strumento prima la coppia di punti D1-D2 e 3-4 dalla stazione 500, che recano per ogni coppia azimut molto vicini, tali da ridurre al minimo l'errore dovuto all'indeterminazione di ±2 mm nella misura lineare, e in seguito dalla stazione 600, sempre la coppia di punti 3-4 e la coppia A1-A2. Dalla stazione 500 è stata anche rilevata la coppia di punti non in linea A1-A2, così la coppia D1-D2 dalla stazione 600.

Vi è da dire subito che il valore della indeterminazione dovuto al non perfetto allineamento dell'asse delle ombre con lo strumento, generato dalla indeterminazione lineare, è pari a 0,0001° per il segmento D1-D2 e 0,000014° sul segmento A1-A2.

Il risultato del calcolo mette in evidenza un errore tra l'azimut della coppia D1-D2 rilevata dalle due stazioni pari a 0,0517° (0°03'06”) e un errore della coppia A1-A2 pari a 0,0609° (0°03'39”); mentre si rileva un errore sulla direzione della parete 3-4 pari a 0,0688° (0°04'08”).

Fig. 8

Verifica n°4
Naturalmente vi è un certo margine di errore relativo al cambio di stazione (dalla 500 alla 600), per tanto ho effettuato un'altra tornata di misure allo scopo di verificare il margine d'errore, usando la stessa parete, le stesse ombre ma diversa giornata in condizioni meteorologiche diverse, registrando le seguenti misure:

Stazione 700 
La stazione 700 è vicinissima alla stazione 500, per tanto nessuna correzione sarà apportata alle coordinate geografiche.

coordinate geografiche 39°55' 3*,**” E 8°41' 2*,**” N

punto ombra D1   63,2140g   9,393

punto ombra D2   63,1944g 10,970

punto ombra A2   68,0042g   4,445

punto ombra A1   73,6024g   6,208

punto parete 3        0,2102g  14,872

punto parete 4        0,2678g    5,719

Stazione 800

coordinate geografiche 39°55' 3*,**” E 8°41' 2*,**” N

La stazione 800 è vicinissima alla stazione 600, per tanto nessuna correzione sarà apportata alle coordinate geografiche.

punto ombra D1  71,5938g   8,723

punto ombra D2  70,2890g 10,292

punto ombra A2  87,4922g   3,978

punto ombra A1  87,4392g   5,803

punto parete 3       0,2322g 13,506

punto parete 4       0,3872g   4,362

L'orientamento geografico del tratto D1-D2 rilevato in allineamento dalla stazione  700 determina un azimut della parete 3-4 pari a 167.4335°; mentre l'orientamento del tratto A1-A2 rilevato in allineamento dalla stazione 800 determina un azimut della parete 3-4 pari a 167.5183°. Il rilievo mette in evidenza un errore di 0.0848° (0°05'05"); per tanto una differenza di 0.0160° (0°0'58") rispetto alla precedente tornata di misure, dalla quale abbiamo rilevato un errore di 0.0688° (0°04'08").
  Per tanto possiamo affermare, almeno per ora, che l'errore di indeterminazione è compreso in un intervallo tra 4' e 5' sessagesimali.  

 Ai fini archeoastronomici è più che sufficiente il grado di precisione rilevato, per il semplice motivo che in molti casi i particolari architettonici che determinano la ierofania luminosa non sempre presentano contorni netti e precisi; tanto che l'errore relativo al particolare architettonico nella pratica è più elevato di 5' minuti primi sessagesimali. A noi però basti sapere che abbiamo la possibilità di calcolare la direzione di un elemento architettonico rispetto al nord geografico con un precisione affetta da un errore di indeterminazione stimato tra 0,0688° (0°04'08”) e 0.0848° (0°05'05"), che arrotondiamo per  difetto a 0°05'00”.

Però l'errore di indeterminazione nella ricerca del nord geografico è insito nel rilievo delle sole ombre ed è pari alla differenza riscontrata nel rilevamento delle medesime da postazioni differenti. E questa differenza è pari a 0.0364° (0°2'11"), nel caso del rilievo effettuato in allineamento (dalle stazioni 500, 600, 700, 800). Se allarghiamo il campo dati e utilizziamo quelli relativi alle stazioni 100 e 400, dalle quali i due tratti A1-A2 e D1-D2 sono stati rilevati in modo indipendente,  abbiamo i seguenti angoli compresi:

Tabella "A"

1° 100 A1A2  -  400 D1D2  angolo 21,9205°

2° 300 A1A2  -  400 D1D2  angolo 21,9536°

3° 500 A1A2  -  500 D1D2  angolo 21,8600°

4° 600 A1A2  -  600 D1D2  angolo 21,8692°

5° 700 A1A2  -  700 D1D2  angolo 21,8436°

6° 800 A1A2  -  800 D1D2  angolo 21,8328°

Si tenga presente che è possibile effettuare il raffronto perché le ombre hanno tutte la stessa origine (è il sole che le determina) e la stessa modalità di registrazione.

La media di questi angoli è di 21,8800°, con un divario di 0.0736° con la più alta, e di 0.0472° con la più bassa, e un errore medio di indeterminazione pari a ±0.0604° (0°03'37").

Verifica n°5

   Vi è però una ulteriore verifica da effettuare, che non è di ausilio, ma è quella che sin dall'inizio avremmo potuto (dovuto) esporre come dato campione.

   Abbiamo detto che il rilievo delle ombre è avvenuto il giorno 14/09/2019 alle ore 16:48:30 per la A1A2, mentre la direzione dell'ombra D1D2 è stata registrata il giorno 16/09/2019 alle ore 15:20:55.

   In ragione di ciò, il programma Stellarium ci indica che la prima ombra in quel dato momento aveva un azimut di 245.9672°, mentre la seconda ombra aveva un azimut di 224.0465°; la differenza è pari a 21.9207°. Questo ultimo dato, essendo scevro da errori di rilevamento strumentale, ma è affetto solo da errore di indeterminazione del programma Stellarium, ci indica l'azimut campione al quale far riferimento: 21.9207° appunto.

   Se tutte le osservazioni strumentali della tabella "A" le riferiamo a questo dato, otteniamo un errore angolare  esposto nella sottostante tabella "B" che va da un minimo di:

Tabella "B"

 0.0002° per la 1° 

-0.0329° per la 2° deviazione di 2.9 mm ad una distanza di 5.00 m

 0.0607° per la 3° deviazione di 5.3 mm ad una distanza di 5.00 m

 0.0515° per la 4° deviazione di 4.5 mm ad una distanza di 5.00 m

 0.0771° per la 5° deviazione di 6.7 mm ad una distanza di 5.00 m

 0.0879° per la 6° deviazione di 7.7 mm ad una distanza di 5.00 m

con una media di 0.04075° (0°02'27").

 In ragione di ciò, a meno di ulteriori rilievi e verifiche, possiamo adottare quale errore medio di indeterminazione che andremo a calcolare, allorquando ci apprestiamo a definire materialmente la direzione del nord geografico, quello (arrottondato) di ±0°02'30"; ossia una precisione piuttosto elevata, che compete con la precisione del GPS usato da Demontis, Contini e Defendente, quale strumento di verifica nelle loro osservazioni. Avendo loro stimato per il GPS un errore pari a 0°02'44".
   Volendo anche ammettere, nel nostro metodo, un errore di posizionamento della mezzeria dell'ombra proiettata dalla sommità dell'asta pari a 1 mm, l'errore commesso calcolato sul vertice A1 dell'ombra A1A2, misurata dalla stazione 300 (la più sfavorevole) da una distanza di 4.029 m sarebbe pari a 0.0142° (0°0'51"). Errore che rientrerebbe largamente all'interno dell'errore medio di ±0°02'30".

Conclusioni
   Il metodo applicato, naturalmente risente del grado di precisione che l'operatore profonde nella manualità delle operazioni, a partire dal preciso posizionamento verticale dell'asta e preparazione del piano orizzontale che accoglierà l'ombra; della puntualità di intervento sull'ombra da registrare e capacità di discriminare in modo preciso la posizione dell'ombra stessa; nonché nella messa in stazione in maniera corretta e scrupolosa dello strumento di misura (che si ritiene sia stato rettificato), e precisione nel disporre i catarifrangenti sul punto esatto da rilevare. Operazioni che certamente in parte sono frutto di prassi ed esperienza professionale, e in parte frutto dell'esperienza maturata nel campo specifico del rilevamento delle ombre. Tutte operazioni che saranno efficaci e precise se verranno effettuate con la necessaria calma e i tempi giusti.

 Nei calcoli di carattere archeoastronomico il valore di indeterminazione trovato nella misura angolare rispetto al nord geografico, come già affermato, è ampiamente accettabile in quanto, ad esempio, nel calcolo del posizionamento del raggio solare all'interno del Pantheon (è il classico caso estremo), nel quale le ierofanie si manifestano a distanze piuttosto elevate (dell'ordine di 45 m in misura obliqua da una ipotetica stazione posta in un punto diametralmente opposto all'ingresso che rileva la chiave di volta dell'arco), avremmo un errore di posizione planimetrica pari a poco meno di 3.3 cm¹⁴.
   Ammesso anche di tener conto dell'errore più elevato: 0.0879° della tabella "B" avremmo, sempre per il Pantheon, un errore lineare di posizione pari a 6,9 cm.

   Negli studi da me condotti sui pozzi sacri, queste distanze si riducono drasticamente a tutto vantaggio della precisione profusa.

 Considerazioni finali

    Abbiamo asserito fin dall'inizio che tutto lo studio è finalizzato alla individuazione dell'orientamento di un edificio rispetto al nord geografico allo scopo di entrare, tramite l'elaborazione di un modello tridimensionale, nell'intima natura della ierofania luminosa che in esso si manifesta.

   Per tanto l'errore angolare se pur piccolo, di 0°2'30", è necessario ridurlo a 0°. Infatti una volta realizzato il modello 3D, lo studioso non deve ancora cantar vittoria, ma attendere il momento propizio per effettuare in loco il collaudo di quel modello tridimensionale.
   Se il modello 3D rispecchia fedelmente, in misure e forme, il monumento reale, è necessario verificare la corrispondenza di luci e ombre in un dato momento prefissato, tra ciò che succede nella realtà dei luoghi, con quello che simula il programma di modellazione. Solo così sarà possibile apportare al modello quelle correzioni angolari (rotazione in solido del modello) che eventualmente dovessero servire per orientare in modo perfetto il monumento al nord geografico. Perché noi possiamo avere lo strumento topografico ultra preciso e usare la massima cura nei gesti del metodo applicato, ma è il sole che comanda e geometricamente giudica.

  Alla luce di quanto appena asserito, anche una non precisissima individuazione dei limiti dell'ombra rilevata, non pregiudicherebbe l'esito del lavoro, ma per non adagiarsi sugli allori si tenga presente che la precisione tende alla perfezione, per tanto pretende un metodo; e il metodo pretende forma mentis! E benché la perfezione sia chimerica, la precisione ci aiuta a capire quel che i nostri avi profusero in sapere e genialità.

Note e riferimenti:

1 La migrazione annua del polo nord magnetico è tenuta sotto controllo dagli scienziati, i quali hanno accertato ultimamente una sua accelerazione.

2 https://www.researchgate.net/publication/265163193_Tracciare_il_Nord_geografico_con_metodi_empirici_antichi_e_moderni_-_Tracing_the_geographical_North_with_empirical_methods_ancients_and_modern

3  Nell'articolo citato il metodo e la cura dei dettagli  furono affrontate in maniera marginale. Questo perché, come gli autori stessi dichiarano, questa procedura è per loro poco più di un esercizio ludico e per tanto esula dal preciso intento di adottare realmente il metodo in campo topografico.

4 L'angolo di indeterminazione in questo caso dipende anche dalla distanza della stazione dal tratto rilevato, in quanto più la stazione è lontana dall'oggetto rilevato più la direttrice OA e OB tendono alla perpendicolare al tratto AB e di conseguenza aumenta l'errore angolare, fino ad un massimo, nel caso esemplificato, di 0°0'17 con la stazione che tende a distanza infinita.

5 Idem come sopra.

6 Naturalmente si procederà a posizionare l'asta dopo la messa in stazione dello strumento topografico in posizione che tende a ovest, in modo da esser pronti a registrare la posizione dell'ombra quando si appresta a essere sulla direzione ottimale.

7 La penombra, come è noto, è dovuta al fatto che il sole non è una sorgente luminosa puntiforme, in ragione di ciò è possibile calcolare l'ampiezza della penombra che evidentemente è data dal diametro apparente del sole che è massimo i primi giorni di gennaio e al minimo ai primi di luglio. Per tanto il giorno 14/09/2019 il diametro solare era di 0,52999° e l'ombra vera veniva assottigliata quel giorno da due angoli convergenti pari alla metà del diametro solare: 0,264995°.

8 Per coordinata polare si intende una coppia di dati che definiscono la posizione di un punto sul piano di riferimento con angolo e distanza.

9 Fino all'avvento del CAD nel disegno tecnico, in ambito catastale si faceva uso del rapidografo, una penna dal tratto preciso e costante, dello spessore minimo di 1/10 di millimetro. Si potrebbe ancora usate tale strumento (ammesso sia ancora in commercio, perché ormai fa parte dei “reperti storici”). Comunque non è un problema reperire uno strumento capace di tracciare un segno di spessore minimo, perché si potrebbe optare per altro metodo, ad esempio quello di incidere con una lametta, o più efficacemente con un cutter o un bisturi e un nastro adesivo da carrozziere posto sulla tavola orizzontale di riferimento. Piuttosto ci si deve domandare se sia necessario profondere tanta precisione.

10 Per dare una idea dell'errore dovuto allo spessore del segno, sul tratto di ombra rilevato lungo 1,824 m l'indeterminazione è pari a 0,0063° (0°0'23” sessagesimali).

11 Si vuole qui dare una idea di quanto precisa sia la misurazione angolare di un teodolite moderno. Gli antichi teodoliti meccanici, per intenderci quelli che furono usati per la formazione della carta d'Italia, montavano un goniometro sessagesimale che poteva discriminare con l'aiuto di un nonio i 2” d'arco sessagesimale. Ossia in un goniometro diviso in 360 parti (gradi), ogni grado era diviso in 60 parti (minuti primi) e ogni primo in 30 parti (minuti secondi); per tanto virtualmente tale goniometro era diviso in 360x60x30 = 648.000 parti.

I moderni teodoliti hanno il goniometro diviso in 400 parti (gradi centesimali), ogni grado è diviso in 100 parti (minuti primi centesimali), ogni primo è diviso in 50 parti (minuti secondi centesimali); per tanto questo goniometro è diviso in 400x100x50= 2.000.000 di parti.; ossia più di tre volte più preciso dei primi teodoliti meccanici.

12 Dalle note esplicative dell'algoritmo, estrapolate dal programma Stellarium leggiamo: “Questa soluzione di F. Espenak e J. Meeus, basata sia sul lavoro di Morrison e Stephenson (2004) e un fit polinomiale su valori tabulati per 1600-2000, è usata per il sito Web di NASA Eclipse e nel loro Millennium Canon of Solar Eclipses: -1900 to +3000 (2006). Questa formula è utilizzata anche nel software per le effemeridi solari, lunari e planetarie SOLEX. Intervallo di validità: dall'anno -1999 al 3000.”

13 PREGEO è un programma dell'Agenzia delle Entrate, utilizzato dai professionisti del settore catastale per l'aggiornamento cartografico dovuti a tipi di frazionamento e accatastamento di immobili.

14 A differenza di quanto calcolato ed esposto in Fig.3, per quanto riguarda l'errore di posizionamento nel Pantheon, ma in generale in tutti i monumenti, l'errore essendo strumentale si calcola sulla misura rilevata dallo strumento utilizzato.